Please use this identifier to cite or link to this item: http://repository.sspu.edu.ua/handle/123456789/5410
Title: Розв’язування алгебраїчних рівнянь в модульних арифметиках
Other Titles: Solving Algebraic Equations in Modular Arithmetic
Authors: Лукашова, Тетяна Дмитрівна
Lukashova, Tetiana Dmytrivna
Лукашова, М. В.
Lukashova, M. V.
Марченко, К. В.
Marchenko, K. V.
Keywords: кільця класів лишків
модульні арифметики
скінченні арифметики
алгебраїчні рівняння
лінійні рівняння
системи лінійних рівнянь
rings of residues classes
Modular Arithmetic
Finite Arithmetic
algebraic equations
linear equations
systems of linear equations
Issue Date: 2018
Publisher: СумДПУ імені А. С. Макаренка
Citation: Лукашова, Т. Д. Розв’язування алгебраїчних рівнянь в модульних арифметиках [Текст] / Т. Д. Лукашова, М. В. Лукашова, К. В. Марченко // Фізико-математична освіта : науковий журнал / Міністерство освіти і науки України, Сумський державний педагогічний університет імені А. С. Макаренка, Фізико-математичний факультет ; [редкол.: М. П. Вовк, М. Гр. Воскоглу, Т. Г. Дерека та ін.; гол. ред. О. В. Семеніхіна]. – Суми : Вид-во СумДПУ імені А. С. Макаренка, 2018. – Вип. 2 (16). – С. 86–90.
Abstract: У багатьох задачах теорії чисел та дискретної математики доводиться виконувати арифметичні дії над цілими числами за певним модулем. При такому підході кожне ціле число можна ототожнити з остачею за цим модулем та розглядати множину лишків як нову, модульну арифметику. Зазначимо, що арифметичні операції над елементами утвореної таким способом алгебраїчної структури вводяться подібно до того, як вони визначені для цілих чисел, і визначаються відповідними остачами від ділення на модуль. Проте, залежно від модуля, деякі особливості можуть виникати при множенні класів лишків та похідних від нього операцій – піднесенні до степеня та добуванні кореня, а відтак – при розв’язуванні рівнянь та їх систем. В арифметиках за простим модулем результати операцій віднімання та ділення на відмінний від нуля елемент також є елементами цих арифметик. Тому в них можна обійтись без від’ємних та дробових числових виразів. Окрім того, в таких арифметиках зберігається більшість відомих алгоритмів розв’язування алгебраїчних рівнянь та їх систем. З іншого боку, в арифметиках за складеним модулем усталені правила можуть порушуватись, що пояснюється існуванням в них дільників нуля. Незважаючи на те, що виконання арифметичних операцій у скінченних арифметиках значною мірою спирається на теорію конгруенцій та теорію кілець, які вивчаються у курсі алгебри й теорії чисел, дослідженню модульних арифметик, зокрема, особливостям виконання в них арифметичних дій, розв’язуванню рівнянь та їх систем присвячено лише окремі публікації. У даній статті розглядаються особливості розв’язування алгебраїчних рівнянь та їх систем у модульних арифметиках. Досліджено питання розв’язності окремих типів алгебраїчних рівнянь (зокрема, лінійних та квадратних) та систем лінійних рівнянь у арифметиках за простим модулем, наведено відповідні алгоритми і приклади. Матеріал статті може бути використаний при вивченні відповідних тем з теорії чисел та дискретної математики, а також розглянутий на заняттях спецкурсів та математичних гуртків.
It is necessary to perform arithmetic operations for a particular module in many tasks of Theory of Numbers, Discrete Mathematics and Cipher Theory. In this case, each integer can be identified with the remainder of this module and consider a plurality of residues as a new Modular Arithmetic. In spite of the fact arithmetic operations over elements of an algebraic structure formed in this way are introduced in the same way as they are defined for integers, and are determined by the corresponding residues from division into a module. However, depending on the module, some features may arise when multiplying the classes of residues and derivative operations, elevation to degree and extraction of the root, when solving equations and their systems. In Arithmetics for a simple module, the results of the operations of subtraction and division for a non-zero element also are the elements of the corresponding Arithmetics. Therefore, they can be considered without negative and fractional expressions. Moreover, in such an Arithmetics, most of well-known algorithms of solving algebraic equations and their systems are preserved. On the other hand, in the Arithmetics for the compiled module, the established rules may be violated, what is explained by the existence of dividers of zero in them. Despite the fact that the implementation of arithmetic operations in finite Arithmetics basing mostly on the Theory of Congruences and the Theory of Rings, which are studied in the course of Algebra and Theory of Numbers, only some individual publications are devoted to the study of Modular Arithmetics, the peculiarities of the implementation of arithmetic operations and the solving algebraic equations and their systems, in them. In this article peculiarities algebraic equations and their systems in Modular Arithmetic. The solvability of certain types of algebraic equations (in partiqular, linear and square equations), as well as systems of linear equations in arithmetic by a simple module, is explored, and the corresponding algorithms and examples are given. The problem of solvability of certain types of algebraic equations, as well as systems of linear equations in Modular Arithmetic is explored. Corresponding algorithms and examples are given in this article. The material of the article can be used in the study of relevant topics in the Theory of Numbers and Discrete Mathematics, as well as at the lessons of the special courses and mathematical circles.
URI: http://repository.sspu.sumy.ua/handle/123456789/5410
Appears in Collections:Фізико-математична освіта

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
Lukashova.pdf1,04 MBAdobe PDFView/Open


Items in DSpace are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.